从游戏本身进行考虑。将 $n$ 表示为 $p$ 进制后末尾有至少 $k$ 个 0，意味着 $n$ 能被 $p^k$ 整除,也就是说 $n$ 需要是 $p^k$ 的倍数时，我们才可以选择 $p$。

根据唯一分解定理，我们可以把任意一个大于 1 的正整数 $n$ 分解成这样的形式：

$n = q_1^{e_1} \times q_2^{e_2} \times \ldots \times q_m^{e_m}$

其中 $q_i$ 为质数，$e_i$ 为这个质数的指数。

当分解式中存在某个指数 $i \geq k$ 时，Alice 可以选取所有指数满足 $e_i \geq k$ 的质因数，将它们的乘积作为 $p$ 进行操作。操作后，新数的质因数分解中所有指数都会小于 $k$，导致 Bob 无法再进行任何合法操作。因此，Alice 必胜。

当 $n$ 的所有质因数的指数 $e_i$ 均小于 $k$，则 Alice 从一开始就没有可行的操作，Bob 获胜。